今天小编就为大家分享一篇使用python求解二次规划的问题,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧

Python中支持Convex Optimization(凸规划)的模块为CVXOPT,其安装方式为:

pip install cvxopt

一、数学基础

二次型

二次型(quadratic form):n个变量的二次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数为任意多个,但每一项的次数都为2的多项式。其基本形式如下

亦可写作, ,称作二次型的矩阵表示,其中A是对称矩阵。仿照如下的定义,我们可以直接在其基本形式和矩阵表示之间相互转化。

2.正定矩阵

设A是n阶实对称矩阵, 如果对任意一非零实向量X,都使二次型 成立,则称f(X)为正定二次型,矩阵A称为正定矩阵(Positive Definite),A为正定矩阵。

相应的,如果对任意一非零实向量X,都使二次型成立,则称f(X)为半正定二次型,A为半正定矩阵。

3.二次规划问题

二次规划是指,带有二次型目标函数和约束条件的最优化问题。其标准形式如下:

即在Gx<h 和Ax=b的约束下,最小化目标函数。其中,当P是正定矩阵时,目标函数存在全局唯一最优解;P是半正定矩阵时,目标函数是凸函数,存在全局最优解(不唯一);P是不定矩阵时,目标函数非凸,存在多个局部最小值和稳定点,为np难问题。(本篇博客中我们不考虑非正定情况)。

二、python程序求解

工具包:Cvxopt python 凸优化包

函数原型:Cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)

P,q,G,h,A,b的含义参见上面的二次规划问题标准形式。

编程求解思路:

1.对于一个给定的二次规划问题,先转换为标准形式(参见数学基础中所讲的二次型二中形式转换)

2.对照标准形势,构建出矩阵P,q,G,h,A,b

3.调用result=Cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)求解

4.print(result)查看结果,其中result是一个字典,我们可直接获得其某个属性,e.g. print(result['x'])

下面我们来看一个例子

import pprint
from cvxopt import matrix, solvers
P = matrix([[4.0,1.0],[1.0,2.0]])
q = matrix([1.0,1.0])
G = matrix([[-1.0,0.0],[0.0,-1.0]])
h = matrix([0.0,0.0])
A = matrix([1.0,1.0],(1,2))#原型为cvxopt.matrix(array,dims),等价于A = matrix([[1.0],[1.0]])
b = matrix([1.0])
result = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)
 
print('x\n',result['x'])

运行结果:

注意事项:

cvxopt.matrix与numpy.matrix的排列顺序不同,其中cvxopt.matrix是列优先,numpy.matrix是行优先。具体可见下面实例

import numpy as np
from cvxopt import matrix
a = np.matrix([[1,2],[3,4]])
b = matrix([[1,2],[3,4]])
print('numpy.matrix',a)
print('cvxopt.matrix',b)

运行结果:

以上这篇使用python求解二次规划的问题就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持爱安网。

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